                            .

                             1.
      2 窨 A(x1,y1)  B(x2,y2). ।,   १-
, OA  OB, ࠧ 訩 㣮   OX.
          襩        뢠,         ᫨
D=x1*y2-x2*y1<0,   㣮, ।塞 窮 A , 祬 㣮,
।塞 窮 B;  ᫨ D=0,   㣫 ࠢ,   ᫨ D>0,  
㣮, ࠧ㥬 OB, .
     ਬ:
                A(-1,3), B(0,-2), x1*y2-x2*y1=2>0,
 ᫥⥫쭮,  १ OA ࠧ 訩 㣮   OX (㣮
ᥣ 뢠 ⨢ ᮢ ५ !).

                             2.
      ।,  ਭ  窠 A(x,y) १  -
묨 窠 B(x1,y1)  C(x2,y2)?
     窨 १ z   ࠢ
           pOB+(1-p)OC=z,  0<=p<=1,  OB  OC - .
     ᫨  ⠪ p, 0<=p<=1, 
     pOB+(1-p)OC=A,
 A   १,  - .
     ⢮ (*) ᯨ뢠  न⭮ ⠪:
     px1+(1-p)x2=x
     py1+(1-p)y2=y
      ࢮ ࠢ 室 p,  ⠢塞  ஥:  ᫨
砥 ࠢ⢮  0<=p<=1,  A  १,  - .

                             3.
      - ७  A(x,y) 㪫 -
쭨, ਬ, 業   ᫥⥫ 祪  -
: A(x,y)=((x1+x2+x3)/3;(y1+y2+y3)/3).
       롥६ ந쭮   ᫥⥫  設
L1  L2  ᫨ 㣫,   ࠧ १ (A,L1)  (A,L2)
  OX.  ᫨  㣮  ண,  室 ⨢ -
  ५,    -    ᮢ.    ᫥ 㣫 
ᯮ짮 㭪 arctan(x)  Pascal.
     ᬮਬ     :
      2 窨 A(x1,y1)  B(x2,y2). ।,   १-
,OA  OB, ࠧ 訩 㣮   OX. (। 
祢 ࠧ ᢮  ⮩  1).
     ᫨  ᫮    㣮쭨  㪫,    
। ᫥騩 ᯮᮡ 襭:  室   ᨬ쭮
ᮩ, ,   , ᬮਬ: ᫨ ࢮ ⨪-
 ॡ ⪫ ⨢ ᮢ ५,    室 ⨢
ᮢ ५,  - .

                             4.
      a,b  c --  १ XY,  YZ  ZX  ᮮ⢥⢥.
᫨ ௥ P   १ XY,   㣫 XYZ  YXZ 
稭  ॢ室 90 ࠤᮢ (  㣫  ).
      ⥮६ ᨭᮢ
     B^2 = A^2 + C^2 - 2*A*C*cos YXZ

     C^2 = A^2 + B^2 - 2*A*B*cos XYZ
     ᫨ 㣫  XYZ   YXZ  ,   cos YXZ  cos XYZ  
।  0  1,   a -2*B*C*cos YXZ  -2*A*B*cos XYZ 
ਢ   㫠 ⥫,  ..   砥,  
௥   १ XY,   믮 -
  ࠢ⢠
                         B^2 <= A^2 + C^2

                        C^2 <= A^2 + B^2,
     ᫨      ࠢ⢮ 蠥,   ௥
  த १ . ਬ砭 :
       १, ਬ, XY,    㫥
                   A = (x1-y1)**2 + (x2-y2)**2

                             5.

     /\
     
                                   C
                                   .
                               .   |.
                           .         .
                       .           |  .
                  .                    .
             B .                   |    .
               |  .                      .
                     .             |      .
               |        .                  .
                           .       |        .
               |              .              .
                                 . |          .
               |                    .          .
                                   |   .        .
               |                          .      .
                                   |         .    .
               |                                .  .
                                   |              . .
               |                                     .
                                   |                 | A
               |
                                   |                 |
               |
               |                   |                 |
     >
                D                   E                 F

      襭 魮 ⠥,   䨣 ᯮ  -
    㯫᪮⥩ (᫨   ⠪,   ᤥ
ࠫ ७).
     頤 䨣 㤥    㬬  頤  ࠯権
(⠥,  頤    ⥫쭮)  㫥


                 1      n
             S=  *  SUM (X   - X )* ABS(Y    - Y )
                 2     i=1   i+1   i        i+1    i

     ⠥,  (X   ,Y   )=(X ,Y ).
                         N+1  N+1    1  1
    ਬ,  䨣  㭪 頤 㤥  ᫥騬
ࠧ :
          S   = S     + S     + S      =  S     + S     - S    .
           ABC   DBCE    ECAF    ABDF      DBCE    ECAF     ABDF

     ਬ 䨣 室  㬬  ஭ 㣮쭨-
,  ஭  窠 A(x1,y1)  B(x2,y2)  
 ⭮ 㫥
               d(A,B)=SQRT(SQR(x1-x2)+SQR(y1-y2)).
     宦 㣫  ஭  ᢥ    宦-
 㣫  १ OD  OP (O - 砫 न). 室
(ᯮ 㭪 arctan  ᪠) 㣮,  ࠧ㥬 १ OP
   OX,   㣮,  ࠧ㥬 OD  OX ( ⮬ 室 -
쭮 । 祭 稭 㣫 - ⠭ 㣫 45  
225  ࠤᮢ     ;  宦 ⨭ 稭 㣫
  ᬮ,   ࠭ ᯮ 窨 P  D).


                             6.
     ਠ 1.  १  १ ஢  cx+d=y 
।,  ਭ  窠 祭   x,  ᫨
 ,  १.   ,        ࠢ
x*(c-a)=(b-d),    y=ax+b,    ஢ 믮 ࠢ
x1<=x<=x2, y1<=y<=y2.
        宦 x     訥 -
᫨⥫ 譮   ९     -
,  १ 祣   ⢥.
     ਠ 2.  稬 F(x,y)=ax+b-y.  ﬠ ax+b=y ࠧ
᪮   :    F(x,y)>0,   㣮 F(x,y)<0  
אַ ax+b=y F(x,y)=0 .  ᫨  ﬠ ᥪ  १,  
  १   ࠧ 㯫᪮,    
 楢 窠 १   אַ.   ࠢᨫ쭮  -
 ᫥饣 ࠢ⢠ F(x1,y1)*F(x2,y2)<=0.   -
,     祭,    㭪樮 㤨
 ⮬,   ﬠ  १  . 祢,  ன
ਠ 襭  ।⥫쭥 ࢮ.

                             7.
     믨뢠 ࠢ   A  B ⠪,   楢 窨
१ 1 ਭ אַ A,  १ 2 - אַ B.
      . 襭  6.

                             8.
     , 筮,   窨 Z ஢ १  ᥬ 3- -
設 㣮쭨,   ᬮ:  ᫨ 㬬 頤  -
쭨 ZAB, ZBC, ZCA ࠢ 頤 ABC,  窠 , 
- ᭠㦨,  ⠪   ᫥  設 ஢  ࠭-
祭 筮,   ஢ઠ  ࠢ⢮   
 ࠢ쭮 ⢥.    ᥣ 㤥 ,  Z -
 ABC,   ᬮ  ⢨⥫쭮 ᯮ 窨 Z. -
㥬   -㣮:
     ਭ 窨 ஭ ஢ :  ᫨ -
 窨 ஭ A(x1,y1)  B(x2,y2),  , ᫨ 窠 Z(x,y) -
 ஭,    ⢮ ⠪ ᫮ p,  0<=p<=1,

     x=p*x1+(1-p)*x2
     y=p*y1+(1-p)*y2
     ( ᯮ  ,   ᫨ ﬠ 室 १ A  B,
 窨 אַ   न  (p*x1+(1-p)*x2, p*y1+(1-p)*y2),
p -  ⢨⥫쭮  ᫮.   0<=p<=1  砥 १ 
窠 A  B).
     , ஢    窨 Z ,  ࠫ  OX (
ࠢ 㤥 x=u)  ஢ਬ,  ᪮쪮 ஭ 㣮쭨  -
ᥪ ,  騩  窨 Z, ਬ, ࠢ. ᫨ 0, 
Z -  㣮쭨, ᫨ 1 -  , ᫨ 2 -  ᭠㦨 (-
। 祭 אַ  ஭ -  6).
      ⭮ ࠡ 砩,  ﬠ ᥪ -
  設 㣮쭨 (ਬ, A).   2 :
                                          砥  1,     
   Z   \  /          Z        \         ॡ,  室   -
  \/     \        A,    -
         A                     /A           אַ, ⢮
   砩 1          砩 2 /         祭  
                                        ࠢ    ( ),
 砥 2,   ॡ   ࠧ ஭  אַ,  ᫮
祭 ਬ ࠢ 1.  ஢ઠ,  ࠧ    -
஭  אַ  楢 窨 १ - .   6. ᫨
ﬠ  室    ஭,   ᫮ 祭 㤥 
ࠢ 2.
     筮   ஢,    窠 Z  -
쭨 (  ⬥  ࠧ筮,  㪫      ).  
뢠 ᫮ 祭   ஭ - ᫨  -
,  窠 , ᫨ ⭮ -  ᭠㦨.

                             9.
        ⮤ 襭.  ।,  諨 -
 . 㤥 ᤢ   ࠢ, ௥୮ ⮩
אַ  (ࠫ  ७)   ,     
-  楢 祪 १.       אַ
 ⮩ 窨    ⮣,   ﬠ 㤥 -
 १ 2 楢 窨 १   ⠭  襭
.
     ⥫쭮,   ᬮ , 室騥 १
   樨  楢 祪 १.  ᥣ 
஢ (2*N-1)+(2*N-2)+...+1=N*(2*N-1)        
  ᫮ 祭  १.   ﬠ,  ன 
᫮ ᨬ쭮,   ᪮.
      襭  .
     ।, ᥪ  ﬠ ax+b=y  १  栬
(x1,y1), (x2,y2).
     襭  - .  6.

                             10.
     ந 㪫   ⢠ 祪 - .. ⠪
㪫 㣮쭨,  設 ண    
  N 祪 (,   ),   १   ॡ ⮣
㣮쭨   ஢ ,   N 祪  室  -
⢠     ஭  ⮩ אַ    (-
 ⮯ 祪 ⭮⥫쭮 אַ .  6).
      ந쭮 窨 a(1) ⢠ A  N 祪    
஢    N-1 -  १ ⠪,  ⮡   楢
窠 ⮣ १  뫠    ⢠  A.  ६    १
[a(1),a(2)],    ண    窨 ⢠ A   
஭  אַ,  室饩 १  १ (᫨  -
१  㤮⢮ ⮬ ᫮,  ६ 㣮 a(1);  -
 砫  ᥣ   ⢥ a[1]    ᨬ-
 ᮩ,  ᫨ ⠪ ᪮쪮,  ।  ६  
ᨬ쭮 न⮩ --  ࠭,   a[1]  ਭ
᪮    㪫 㣮쭨).  窨 a(2) 饬
 a(3)<>a(1) ⠪, ⮡  ⢮ A    -
  אַ,  ।塞 १ [a(2),a(3)],  ...,  窨
a(i) 饬 a(i+1)<>a(i-1) ⠪,  ⮡ A    ஭  
[a(i),a(i+1)],   ..,    ,  । 窮 a(i+1)
 ⠭ a(1) -  㫨 ,   諨 㪫  .
 窨 ⢠ A,  騥  ,   -
 窨.

                             11.
     ।,   ந ᪮ 㪫 㣮쭨.
᫨ - 窠 a (   ᫮   S,  饣
 k 祪)   ஭ 㣮쭨,    ⠥  -
 設 ⮣ 㣮쭨.    ,   -
設   㣮쭨  窨  S (᫨   ⠪,
   窠 a  b   S        ᪮쪮
"஭" 設,        ,  a 
b -  ᫥⥫ 設 . 㣮쭨  ⮬ 
  ⠥ 㪫 (१ [a,b]  䨣   㪫
㣮쭨),  ⠪     a  b    -
 窨  S,  㣮쭨   㤮⢮ ॡ
).
     ⠪,  ⢥ 襭   稫 㪫 
⢠ S ( ஥  .  10).
     ᫨ ஥ 㪫 窠 ⠪,   窠 S
  設 (    ஭),      襭,
 襭  .

                             12.
     ᬮਬ    ⬮.
     ਠ 1.  ந 㪫   ⢠ 祪
(.  10).
     ᫨  窨 ⢠ A   ,   -
.  ᫨    ,   饬  l   ﭨ 
 --   쭮  ﭨ    ஭  䨣
(u,v) (᫨ ⠪ 祪 ᪮쪮,  ६   ), ⠢-
塞    l ( 
                           ... u,v ...
㤥
                         ... u,l,v, ...).
      ⠢ 祪 塞 ᠭ  楤, 
᫥  㤥 ⠢  .
     ﭨ  窨  ஭ -    ௥-
,  饭   窨  ஭ (᫨ ஥ 窨 
 १,  .   4), ,  ⨢ 砥, 쭮
 ﭨ  窨  楢 祪 ஭.
     ﭨ  窨 z(u,v)   ஥樨   Ax+By+C=0

                   d=ABS(Au+Bv+C)/SQR(A*A+B*B).
     ਠ 2.  ந 㪫  V  ⢠ -
祪 (.  10).
     ᫨  窨 ⢠ A   ,   -
.  稬 १ A1  ७ 窨 㪫 -
 V. ந   ⢠ A1 㪫  V1 (-
 V  V1  ᥪ!).
     ""  :
     롥६   ᫥⥫ 設 p,s  p1,s1   -
 V  V1 ᮮ⢥⢥ ⠪,  ⮡  㣮쭨  -
設 s,p,p1,s1     㣨 祪 ஢ V
 V1.  뢠   V  V1 (㡨 ॡ (p,s)  (p1,s1)) 
ꥤ塞  ( ॡ (p,p1)  (s,s1)).
     ᫨  V1  ७ 祪,   襭, 
  ७ 窠 V1 த뢠   ᠬ 樨: -
室 㪫    ᫥⥫ 祪    -
, ࠧ뢠  ᪫ ,   ..,   稬, 
᫥ ஥ 㪫 窠 ᮤন  ᥡ 0,  1 
2 窨.
     ᫨ 祪 0,   襭.  ⨢ 砥 ᮥ-
塞 窨  ࠭ ࠧ  ⠪,  ⮡ 䨣 -
 㣮쭨 ( ஢ ᮥ,     -
ਠ 1).

                             13.
      筮 䨣 (।⠢ ᥡ,    ࠤ   -
ᮢ   - ⢮ 祪)   ᫥-
騥  ᨬਨ - ਧ⠫쭠,  ⨪쭠  騥  -
 45  -45 ࠤᮢ (.. 4  ᨬਨ -   ). 
 㣨  ⪨   ⮡ࠦ  ३  -
.    室  १ 業 - ⪨, ⠪  
஭. ਬ, 䨣
     ***
     ***      ***
  2  ᨬਨ - ਧ⠫    ⨪,  
䨣  *  -  4  ᨬਨ.
      ⥬ न ⠪ ࠧ,   ᮢ-
 ⪠ ।⠢ 窮  楫᫥묨 न⠬.
     室  業 ᨬਨ 䨣(騩  न
((Xmax  + Xmin)/2,  (Ymax+Ymin)/2),   Xmax,  Ymax,  Xmin  Ymin
ᮮ⢥⢥ ᨬ   ᮢ  ४  -
न 祪    ⥬ न:
        Xmax = max{Xi} ;    Ymax = max{Yi},
        Xmin = min{Xi} ;    Ymin = min{Yi}   ).
᫨  䨣   ᨬਨ,   室 १  -
 業 ᨬਨ 䨣
     ᬠਢ 4   ᨬਨ,  室騥 १ 
業. ।塞,   䨣 ᨬ筮 ⭮⥫쭮 -
  ᥩ.  ( 㤮⢠  業   砫 ⥬
न.   ᨬਨ ⭮⥫쭮 ਧ⠫쭮 (⨪쭮)
  ⪥ 䨣 (x,y)  ᮮ⢥⢮ ⪠  ⠪
 ᮢ (४) न⮩,    ⭮     㣮
न⮩,  ..  (x,-y)  (ᮮ⢥⢥,    ⨪쭮  
(-x,y)).  ᨬਨ ⭮⥫쭮    45 (-45) ࠤᮢ
 ⪥ (x,y) 䨣  ᮮ⢥⢮ ⪠  न-
⮩ (y,x) (ᮮ⢥⢥ (-y,-x)).

                             14.
     १, ᮥ騥  窨  ࠧ  R1  R2,  ࠫ
஭ AD. 㤥  १, ᮥ騥 ᫥⥫ -
  ࠧ R3  R4  ᪠  ⨬  ᫥⥫묨
१ 㣮쭨  襩  頤.  㣮쭨
ࠧ  Q  ᨬ쭮 頤  㣮쭨  -
쭮 頤  ᥬ ⠪ ࠧ אַ㣮쭨  १-
.
      ᫥⥫ 窨 ࠧ  묨 ࠬ
 ஭ BC  AD , ᮮ⢥⢥ f1,f2  g1,g2.
     ᫨ f2-f1=g2-g1,   㥬 㣮쭨  -
ࠫ,   ࠫ  ᨬ쭮 頤 ।-
  ᨬ쭮  १  ࠧ R1 (,    ,
R2).
     ᫨,   । f2-f1 > g2-g1 (砩 ⭮ -
ࠢ⢠ ᬠਢ  筮),  ,    f2-f1=h1,
g2-g1=h2,  l=CD,  h'  h" - ᮮ⢥⢥      ࠢ
஭ 㣮쭨,  L2 - ਭ  ᭮, z -  -
祭 த 孥     ஭  㣮쭨,
L1, L3  x - ᮮ⢥⢥ ﭨ   ⥭ אַ㣮-
 ABCD  㣮쭨,    ࠢ  ⥭  אַ㣮쭨
ABCD  㣮쭨,   窨 x  אַ㣮쭨 ABCD, -
頤 㣮쭨 - s; 砥 ᫥ 奬  ࠢ⢠:

        l
  CĿD             x    x+l
            /z          = 
  -/--          h2    h1
          /.__ h2
        h"/ .           s = (h'+h") * L2/2
    h'   / .
        /  .            x    x+L3   x+L2+L3
h1      /   .            =  = 
       /.   .            h1    h"       h'
      / .   .
      /  .   .
     /.  .   .        㤠    x=l*h2/(h1-h2)
    / .  .   .                  h'=h2*(x+L2+L3)/x
  _/  .  .   .                  h"=h2*(x+L3)/x
   L1 .L2.L3 .
   x.
  B          A

        १, ।塞 窠 ࠧ R3 
R4, 室 ᨬ 頤 㣮쭨  ⨬ -
 १.


                             15.
      न 祪 x[1], ..., x[N]  뢠 (᫨  
⠪,   㥬 ।⥫쭮 ᫥⥫쭮).
                        ⮤ 襭 #1.
     ।,    諨  z,      ࢠ
(x[i],x[i+1]).  ࠢ   i 祪, ᫥ - N-i. 㬬 -
 Smin 㤥 ⠪:
     Smin=(z-x[1])+ ... +(z-x[i])+(x[i+1]-z)+ ... +(x[N]-z).
     ।,   i>N-i       । ࢠ ᤢ
 z   -  稭 d (d<z-x[i]). -
  㬬 S
       S=(z-d-x[1])+ ... +(z-d-x[i])+(x[i+1]-(z-d))+ ... +
                 +(x[N]-(z-d))=Smin-d*i+d*(N-i).
      ⠪ ,  ।, i>N-i,  S<Smin  !?
     ,   N-i>i,  ᫥  筮  -  
ᤢ  稭 d<x[N+1] - z ࠢ,   室  ⮬  -
 ࢠ,     砥,   㬬 S<Smin. -
砩,   z ᮢ    祪 x[i] ᫥ ⠪  ,
  , ᯮ 쪨 ᤢ.
     ⥫쭮,  ⮣,  ⮡ 窠 z 뫠 ᪮, -
  筮, ⮡ ࠢ  ᫥       
᫮ 祪.  ᫨ N=2k,   窠 z     祪 -
१ [x[k],x[k+1]], ᫨  N=2k+1,  窠 z=x[k+1].
                        ⮤ 襭 #2.
       蠥   N 祪  אַ.
     窠 z , 祢,   १ [x[1],x[N]].
     ᫨ N=1,   窠   ᪮.
     ᫨ N=2,  z    㣮  १ [x[1],x[N]]
- 㬬୮ ﭨ 㤥   ࠢ  १.
     ᫨ N>2,  㬬୮ ﭨ  窨 z  祪  -
쭮  ᨬ쭮 न⠬ (..  祪 x[1]  x[N]) 
   ⮯  窨  z   ࠢ  १ [x[1],
x[N]].   㬬୮ ﭨ    祪  ﭭ,
 ⮬    ,     㦥  N-2 -
祪 x[2],...,x[N-1].  ஢ 室 ᫮ ࠧ ᮪饭 -
⢠  祪,    ਤ  㦥 ᬮ७   
 祪.
     ⥫쭮 砥: ᫨ N=2k,  窠 z   
 祪 १ [x[k],x[k+1]], ᫨  N=2k+1,  窠 z=x[k+1].

                             16.
     ) ⢥ ᯮᮡ  ⠪  -  ᫨  
㬬 ﭨ,   ⥬  ।  . ﭨ
 窠 x(x1,x2)  y(y1,y2) ⠥  㫥
           d(x,y)=SQRT(SQR(x[1]-y[1])+SQR(x[2]-y[2])).
     ᫨  ﭨ ⠥  㫥
              d(x,y)=abs(x[1]-y[1])+abs(x[2]-y[2]),
  ⮬ 砥 ਬ  襭    15  (ᬮ,
   ⮣ 砥).
     ) Z  業  ⥬  N 祪
                      Zx=(x[1]+ ... +x[N])/N
                      Zy=(y[1]+ ... +y[N])/N

                             17.
     㫨㥬 :   ᪮ ᢮ न⠬
 N 祪 P_i(x_i,y_i).  ந 㦭 -
 ࠤ  業஬    ⠪, ⮡  ᮤঠ
 ᥡ   ᢮ ࠭   窨.
        쭥襬  㤥  १ C(P,Z) -
   業஬    窥  (P,O)    室  १  
Z=(Zx,Zy).
     祢,   ᪮ 㦭   襩 
 窠. ⢨⥫쭮,  ⨢ 砥  ,  -
 業 㦭, 㬥  ࠤ,   ⨢
।  ⮬,    뫠 ஥ 㦭 -
쭮 ࠤ.
      ᫥饥  ⮥  ⢥ত:  ᫨  ᪮
㦭  ⢥ 窠,   業 㦭 
஥ ⮩ 窨   .
     । ⨢ -  쭮  㦭  
⢥ 窠 Z(Zx,Zy),  業   ᮢ  (Zx,0).
᫨  筥   業 㦭, 室饩
१  Z,   ࠢ (Zx,0),  ,  ⠪   窨,
஬ Z,    㦭,   -   
 ⠢    .    ࠧ     
-,  ᤢ 業,  㬥訢  ⮬ ࠤ -
, ᮤঠ饩  窨. 砥 ⨢稥  ।-
  쭮 ࠤ.
     ⢨. ᫨    ᪮ 㦭  ⮫쪮 
窠,   窠  ᨬ쭮   न⮩.
     ⬥⨬ ,    㦭   業஬   
⢥ ࠧ ।  騬   窠-
 (業  ⮩ 㦭 -  窠 祭  
 । ௥  १,  ᮥ饣    
窨).
      ࠧ  砥 ᫥騩
                            1:
      1.  饬  (x_i,y_i)  ᨬ쭮   -
⮩ y_i (᫨  ⠪  祪  ᪮쪮,        ࠧ
,     ३         2),        㦭
C(x_i,(x_i,y_i)) ஢塞,  ᮤন    N 祪. ᫨
,   襭, ᫨ , 
      2.  । 㦭⥩, ।塞 ᥢ묨 -
ࠬ 祪 (P_i, P_j), 室 ,  ᮤঠ  窨,
 ⥬ 롨ࠥ   㦭 쭮 ࠤ.
      祪,      । 㦭,  ᥣ
N(N-1)/2, ..  浪 N*N, ᫥⥫쭮,   -
⥩ ⮦  浪 N*N.   ஢ન ਭ N 祪
 㦭 ॡ 浪 N 権.  砥, 
᫮ ⮣  ⬠  浪  N^3.  (  ਬ 
᫮ ⬠,    ᬠਢ  ⮫쪮  ᨬ
 ᫠  ॡ㥬  権    ᫠  N,   
⠭ ⥫   騥 ᫠).
     ᬮਬ 㣮 ᯮᮡ 襭 ⮩ ,  ᭮
  㡮  .

                           ਠ #2.
     ஢ઠ   1 ࠭   ⬠  ⠥
 .  ᪮ 㦭  .
      ᭮  2  ᫥饥 ⢥ত:
      㦭   業஬ (P_ij,0) । 窠
P_i(x_i,y_i)  P_j(x_j,y_j).   ⮫쪮 ⮣    -
ঠ饩   窨 㦭 C 쭮 ࠤ,  
(P_ij,0)         ⮣쭮     ஥樨     १
[(x_i,y_i),(x_j,y_j)]   ,  ..  믮
ࠢ⢠ x_i<=P_ij<=x_j.
     㦭 C  業஬ (P_ij,0)  室  
祬 १ 2 窨  ⢠  N 祪,     ⮬
   祪  ᥣ      ⠪ (稬 
P_i(x_i,y_i)  P_j(x_j,y_j)),  x_i<P_ij<x_j. ⢨⥫쭮,
᫨      㦭 祪 뫨, -
,   P_ij,  (P_ij,0)  뫮  ᬥ  
     稭  㬥襭 ࠤ 墠-
뢠饩  窨 㦭,   ⨢ 쭮
 ࠭ 㦭.
        祪,    㦭     
 P_ij ᫥⢨ 믮 ᫮  1.
     ⠪: ᥣ    騥  㦭  窨
P_i  P_j  ᠬ, ᮮ⢥⢥,    -
 業 㦭.   窨 । 業 㦭
(P_ij,0) -   祭 । ௥  -
१ [P_i,P_j]     .    ⮬  窠  (P_ij,0),
⢥, 㤥   ஥樨 १ [P_i,P_j]  
.
     ᬠਢ     祪 (P_i,P_j) ⠪,   窠
祭 (P_ij,0)  ।  ௥     १
[P_i,P_j]        ஥樨 १ [P_i,P_j]
  ,  砥,   業 ᪮ 㦭 -
쭮 ࠤ ᮢ    ⠪ ࠧ 祭
祪.   ᬠਢ  祪 (P_i,P_j) ।-
  㦭  쭮 ࠤ R_ij,  ᮤঠ  
窨.
      ᥣ  ᪠  砥,    
㦭 쭮 ࠤ,  ᮤঠ N  祪,  
 ᨬ   祭 ࠤᮢ R_ij.
     ᥣ  祪 (P_i,P_j)   (N^2-N)/2, , ᫥-
⥫쭮, ᫮ ⬠
     O((N^2-N)/2) = O(N^2-N) = O(N^2).
      ,    筮, 塞  ⠭  
 ᫠.

                           ਠ #3.
      ᫥  設 ஢   ࠭祭  -
,   ।  ᫮  ᫥ ⮩.  ⮬
 뢠 筮 ⮫쪮  㪠,      
窠     १  ࠭    epsilon.
Epsilon  짮⥫.  ਬ, ᫨  ⨬ 
न 窨    筮  5    ᫥  ⮩,  
epsilon = 10^(-6).
      ⫨稥   ਠ #2   㤥   ௥-
, 騥  ஥樨 १  ᪠ । -
 㦭⥩ 㦭  ᨬ ࠤᮬ. ,
ᠭ  ᯮᮡ 㤥 롨      
஢,    ᪮  .
      ਠ 襭 #2  ᤥ 뢮,    ᪮
窠   १ [A(0),B(0)]=[min{x_i},max{x_i}].  
C(0)=(A(0)+B(0))/2 - । ⮣ १,   L=B(0)-A(0)  -
 .
     稬:
     Dl(C(0))=ᨬ쭮   ﭨ  窨 (C(0),0) 
祪 (x_i,y_i)  ᠬ x_i<=C(0);
     Dr(C(0))=ᨬ쭮   ﭨ  窨 (C(0),0) 
祪 (x_i,y_i)  ᠬ x_i>=C(0).
     i- ⨢ (騩) 蠣 ⬠, i=0, 1, 2,
3, ... :
     ᫨ B(i)-A(i)<=epsilon,  業 㦭   -
१ [A(i),B(i)]   筮 ⨣. ⮯.
     
         塞 C(i)=(A(i)+B(i))/2.
         室 Dl(C(i))  Dr(C(i)).
     ᫨ Dl(C(i))<Dr(C(i)),   ᪮ 窠   
 ஬⪥  [A(i),C(i)),  ⠪  ࠤ  ᮤঠ饩 N
祪 㦭  業஬  ⮬ ஬⪥   Dr(C(i))
(஢ ᠬ!),    㦭   業஬ C(i)  ࠤ
Dr(C(i)). ⮬   業   ᪮   㦭       
[C(i),B(i)],   稬 [A(i+1),B(i+1)],
     , ᫨ Dr(C(i))<Dl(C(i)),  , 筮, 砥,
 業 ᪮ 㦭   [A(i),C(i)],  ன 
稬 [A(i+1),B(i+1)]
     , ᫨ Dr(C(i))=Dl(C(i)),
      C(i) - 業 ᪮ 㦭. ⮯.
      i- ⨢ 蠣. 믮 蠣 i+1.
      ,     L 砫쭮 १   蠣
㬥蠥 . ,  , 稢 ࠡ
 믮 ᫮
     L/(2^S)<=epsilon,
.. ॡ   祬 S=[log2 (L/epsilon)]+1 蠣,  
log2 -    ᭮ 2.
         蠣 ( ᫥ Dl  Dr)  믮-
    O(N) 権,   ᥣ  ॡ 浪
O(N log2 (L/epsilon)).

                             18.
      ॡୠ .  ,  ஭ -
     ࠫ  न!    N  祪
  ᫥⥫쭮  ᬠਢ  ⢥ 孥  㣫
,    ⠢ N-1 -   ࠢ 設  
ᬮਬ,       ⮬ ⢥  N 祪 窨, ᮮ-
騥 孥 ࠢ    㣫.  ᫨  ,  
뢠, ᪮쪮 祪    .
      न  孥 㣫 (x1,y1),  ࠢ-
 (x2,y2),  ⮣ न 祭  㣮-
 ((x1+x2)/2,(y1+y2)/2); न 孥 ࠢ 㣫
     ((x1+x2)/2+[y1-(y1+y2)/2],(y1+y2)/2+[x1-(x1+x2)/2])=
     =((x1+x2+y1-y2)/2, (x1-x2+y1+y2)/2),
  - ((x1+x2-y1+y2)/2,(-x1+x2+y1+y2)/2)
                (ன ⥦  ஢ !).
      (x1,y1)    (x2,y2)    믮  ᫥騥 -
⢠:  x1<=x2,  y1>=y2 (   㦥   孨  
ࠢ  㣫 ).
     ஢ઠ ਭ 窨 䨣 - .  8.

  ணࠬ:
{  室 ⢥ । ॡ   祪.       }
{ ।,  १, ᮥ騩  窨,  ॡ஬   }
{  ந   ᬮਬ,    設      }
{ 室 ⢥. ᫨ ,  ।塞, ᪮쪮 祪       }
{ 室 ⢠   ⮣ . ᫨  ᫮    }
{ ॢ室  ४    .         }
{                                                                    }
{$A-,B-,D-,E+,F-,I+,L-,N-,O-,R-,S-,V-}
{$M 65520,0,655360}
uses crt;
const
   maxn = 100;{ ᨬ쭮 ᫮ 祪 }
type
   xy = record x,y : real end; {    न 祪 }
var
   m                 : array[1..maxn] of xy;   { न 祪 ⢠ }
   i,j,g,k,n,p       : word; { ᯮ⥫ ६                   }
   num               : word; {   ᫠ 祪  ⥪饬     }
   rec               : word; {   ᫠ 祪  襬      }
   a1,b1,c1          : real; { ᯮ⥫ ६                   }
   r,c               : array[1..5] of xy;{   設 ⮢      }
   f1,f2             : boolean;
   o                 : array[1..4] of shortint;

Function sign(a : real) : shortint;{ 㭪 signum }
begin
   if a<0 then sign:=-1
    else if a>0 then sign:=1
     else sign:=0
end;

{ 宦 樥⮢ אַ, 室饩 १ 窨 x1,y1  x2,y2 }
procedure getabc(x1,y1,x2,y2:real; var a,b,c:real);
begin
 a:=y2-y1; b:=x1-x2; c:=-(a*x1+b*y1)
end;

begin
   write(' ᫮ 祪...'); readln(n);
   for i:=1 to n do
     begin
        write(' न ',i,'- 窨...');readln(m[i].x,m[i].y);
     end;
   rec:=0;{ 㫥 ४ठ }
   for i:=1 to n do  { ॡ  ⮢,   १ m[i]-m[j] }
    for j:=1 to n do {  ॡ஬ }
     if i<>j then
      begin
        c[1]:=m[i]; c[2]:=m[j]; { । 設  }
        c[3].x:=c[2].x+(c[1].y-c[2].y); c[3].y:=c[2].y+(c[2].x-c[1].x);
        c[4].x:=c[1].x+(c[1].y-c[2].y); c[4].y:=c[1].y+(c[2].x-c[1].x);
        c[5]:=c[1];
        num:=0;
        { ஢ઠ  稥  設   室 ⢥ 祪 }
        f1:=false; f2:=false;
        for g:=1 to n do if (m[g].x=c[3].x) and (m[g].y=c[3].y) then f1:=true;
        for g:=1 to n do if (m[g].x=c[4].x) and (m[g].y=c[4].y) then f2:=true;
        if (c[1].x=c[2].x) and (c[1].y=c[2].y) then f1:=false;
        if f1 and f2 then {᫨  設    室 ⢥}
          for k:=1 to n do {  ।塞 ᫮ 祪  }
            begin
              for g:=1 to 4 do
                begin
                  getabc(c[g].x,c[g].y,c[g+1].x,c[g+1].y,a1,b1,c1);
                  o[g]:=sign(a1*m[k].x+b1*m[k].y+c1);
                end;
              if ((o[1]=o[2]) and (o[2]=o[3]) and (o[3]=o[4])) or
                 ((o[1]=o[2]) and (o[2]=o[3]) and (o[4]=0)) or
                 ((o[1]=o[2]) and (o[2]=o[4]) and (o[3]=0)) or
                 ((o[1]=o[3]) and (o[3]=o[4]) and (o[2]=0)) or
                 ((o[2]=o[3]) and (o[3]=o[4]) and (o[1]=0)) or
                 ((m[k].x=c[1].x) and (m[k].y=c[1].y)) or
                 ((m[k].x=c[2].x) and (m[k].y=c[2].y)) or
                 ((m[k].x=c[3].x) and (m[k].y=c[3].y)) or
                 ((m[k].x=c[4].x) and (m[k].y=c[4].y)) then inc(num);
            end;
        if rec<num then begin r:=c; rec:=num end;
      end;
   if rec=0 then {      }
     begin
        writeln('    .'); halt
     end;
   { 뢮 १⮢ }
   write('訩  : ');
   for i:=1 to 3 do write('(',r[i].x:2:2,',',r[i].y:2:2,')-');
   writeln('(',r[4].x:2:2,',', r[4].y:2:2,').');
   writeln('  室 ',rec,' 祪.');
end.
     
                             19.
      ࢮ ⠯  ᭮ न 設 אַ㣮쭨
ନ㥬 4 ᨢ: ᨢ - न 設 אַ㣮쭨
  易   ᨢ ஢ אַ㣮쭨,設 ண
ᮮ⢥    -  न;筮   ନ
ᨢ  - न.  ⮬ न 設 ⠢
 ᮮ⢥⢨    "+",  ᫨ 設  ,  
 "-", ᫨ ࠢ .
      ஬ ⠯ ᨢ न   浪  -
뢠 ( ⮬ ᮮ⢥⢨  न⠬  設 -
࠭), 祬   न 砫  ᯮ-
     設 (..    "+"),   ⥬
 ࠢ 孨.    , ᫨ ᬠਢ -
   祭  ஢.
      ᫥ ⠯  ஢  ᬮ  室  祪
( ᬮ७  窨,  騥  祭 ਧ⠫-
  ⨪ ,  室 १ 設  אַ㣮쭨-
) ᫥騬 ࠧ.  ନ ᨢ ⨢ אַ㣮쭨-
  - न⠬.  ⮣, 稭  쭮 -
न, 室  襩 न,   ன  -
設   "-"   न ⫨筠  ।饩  -
.   ⮬   ன 設 ⨢㥬.  
⮣  ᨢ   ᮮ⢥饥  ⠢ 1    0
(砫   ᨢ ࠢ 0). 1 ⠢  宦
設   "+", 0-   "-".
     ᫥ ᪠  㦭  -  न  ᬠਢ   
- न  ⠪  ਭ樯,   宦 -
쭮 祭 १ (.. ᫨ 砥 設  -
 "+",    ⥪饥  ⢮ 祭 㢥稢  1,  
᫨ 砥 設   "-",  㬥蠥  1).  ⮬
뢠, ⨢  祭 設.   ࠧ, -
 ⥪饣 ⢠ 祭 믮 ⮫쪮    -
⨢ 設. ᫥ ᫥ ᨬ쭮 祭 祭
 ⥪饩 - न 室  । - न-
. ᠭ  ⢨ 믮,    - न
  ᬮ७.
     

                             20.
     ⭮,  ᫨  ᢥ  㫥묨 न⠬   
ᢥ   אַ,  室饩 १ 砫 न,  ࠧ-
 ஭  砫 न,   襭  .  
⠪ ᢥ .
     ஢  १ 業   ᢥ  (    窠
).  ᫨    ᢥ    ஭ ,   襭
஥.  ।,    ᢥ   ࠧ  ஭
אַ. । ࠢ אַ  業  ᢥ,    
- ⢮ 祪,    ࠢ ஭  אַ. ।
।      ,   ன 㣮  ᨬ   
।  0  180 ࠤᮢ.    । १ ᨭ
㣫   ( 襬 㣫 ᮮ⢥ 訩 ᨭ).  ஢
  ,  ஢塞,    ᢥ   ஭ 
. ᫨ ,  襭 . ᫨ ,  襭 .

                             21.
     ਯ襬 ஭      N אַ㣮쭨 ਥ:
 ஭ ⠥ 饩 ᭨   (ਥ  稬
1),   - ᫥ ࠢ (2), ࠢ - ᢥ  (3), 
- ᫥ ࠢ (ਥ 4).  窨 祭 N אַ-
쭨.  稬   ⢮ 祪 S.    S 㣫
窨  אַ㣮쭨.      祪  S  ਯ襬  ,
   ਥ権,  ᮮ⢥ ਥ  -
, 祭  窠 .
       ⢥ S   ᨬ쭮 न⮩.   
⠪ 祪 ᪮쪮,  쬥 ।   P0  쭮
ᮩ.    窠    孥   ꥤ
אַ㣮쭨    孨 㣫  -  אַ-
쭨.  ⠥ P0.  㤥   P0   ॡ, 
 ⨬   祪 S ( 㤥  窠 -  㣮  אַ-
쭨,    窠 - 祭 ஭).  稬  
P1.   ਯᠭ   ਥ権  (O1,O2),      ਥ権
(,  ਬ, O1)  3 (  ॡ,  ஬  諨
 P1).  ⠥ P1 - । 設 ,      
窨 P1 ( ॡ - אַ㣮쭨)  ࠢ O2, -
  ⨣  - 設  S.  稬  P2. 
  ਥ権 (O1',O2').  ,  ਬ, O2'=O2, ⮣ 
 । 設  P2 㤥   ࠢ O1',
 ..,   ⨣ 設 P0.  믨ᠭ.
     ।,         "ન".  ᥬ    ᨢ
A[1..2,1..2*N]   ப 1  न 設 אַ㣮쭨 
७  㥬  ᨢ  ࢮ ப  -
. ।,   ᨢ A ࠭ ᥣ S ࠧ न-
: A[1,1], ... ,A[1,s]. 砫  A[2,i]=0, i=1, ... , s.
     । ᨢ B[1..4,1..N].    ࢮ  ப  ᨢ  B
ᯮ    浪 뢠 x - न   
ࠢ 孨 設  N אַ㣮쭨:
     B[1,i] - x - न - 設 P
     B[2,i]  B[3,i] ᮮ⢥⢥ - न      孥
設  ⮩ ⨪쭮 ஭ אַ㣮쭨,   ன 
P.
     B[4,i]=0, ᫨   ⨪쭠 ஭ אַ㣮쭨 
 1, ᫨ ࠢ.
     ᯮ㥬 ⮤ ᪠饩 אַ:
     㤥    ⠭  i  B[1,i] ᨢ
B,    㢥稢    1         A[2,j]   ⠪,   
B[2,i]<=A[1,j]<B[3,i] (A[2,j] 㤥 ࠢ  אַ㣮쭨-
,   ᮤঠ      ᥡ          ࠭    १
A[1,j]<=y<=A[2,j], x=B[1,i]). ᫨ - A[2,j]=0,   -
砥,    אַ㣮쭨    x=B[1,i]    뢠  ࢠ
y=(A[1,j],A[1,j+1]).
     ᫨   ⠪ i,l    k,      x=B[1,i]  ࢠ
(A[1,l],A[1,k+1])       㣮쭨  (..  A[2,l]  =
= A[2,l+1] = ...  = A[2,k]=0),   ࢠ (A[1,l-1],  A[1,l])  
(A[1,k+1],A[1,k+2])  (.. A[2,l-1]>0  A[2,k+1]>0),  -
 (x,y)=(B[1,i],A[1,l])  ਭ 譥  䨣  -
ꥤ אַ㣮쭨,   䨣   ࠩ  
ઠ.  ⮡,   室, 믨  ન, 㯨
   砥 宦 譥  -   ॡࠬ, -
ࠧ騬 .
     㭪 3  蠥 ॡ஬.
      襭 㭪 4 .  5.

                             22.
           窠,  ᮮ⢥ -
 . ᥬ  ᨢ  न L[i]  R[i]  -
   뢠.  ⨬ ⠪,    ᥤ ⥭
(।塞 묨  ᥤ ⠬  ᨢ)  
 ⠥ ﭭ. ⮬    ᥤ -
⮢ ᨢ    㬬  (न  窨,  饩
 ⥭)  ᫨    ⮩ 窥; ᫥ ⮣
 㤥    ਧ⠫  頤    न
砫       頤.  㤥 믨뢠  窠 
窮, 稭  ᠬ  窨 . ᫨  ᥤ -
ਧ⠫ 頤   ,     "᪫-
",  ..  ᬠਢ   頤.  ᫨   ᥤ
頤 ࠧ  ,  ,  ᫥⥫쭮,  믨
ਧ⠫  .


                             23.
     ⠥,   窨  S  㡫 (..  S - ⢮).
  ⢮ S 窨 (0,W),(0,0),(V,0),(V,W) - 設 A.
          㬥  ᨢ  - BX  BY;   ᨢ BX
ᯮ न 祪 ⢠ S    浪  뢠
,    BY -  ⠭ न.  㤥 ,  
BX[i,1]  BX[i,2] (筮 BY[j,1]  BY[j,2]) ᮮ⢥⢥ x-
 y-न 窨  S.
     ᬮਬ ⢮  אַ㣮쭨   Pi,   㤮⢮
᫮ .    ,    ᨬ 頤 
 ᪮.  祢,     ஭ Pi  -
 窠  S,  ஭ Pi    ஭ A.
     ᬮਬ ᫥騥 砨:
     1)   ஭ P   孥 ஭ אַ㣮쭨
A.    窨 BX[i] 饬,    ᨢ BX ࠢ  
   BX[i] ⠪  BX[j]  BX[k],  j<i, k>i, 
BX[j,2]>BX[i,2], BX[k,2]>BX[i,2].
     ⠥,  ஭ אַ㣮쭨 Pi 室:  - -
१  BX[i],   - १ BX[j], ࠢ - १ BX[k]. -
 ஭   孥 ஭ A.
      ࠧ 室  אַ㣮쭨, ਬ몠騥  -
 ஭.
     אַ㣮쭨, ਬ몠騥  ,   ࠢ ஭
A 室 筮,    ᫥    BX
ᯮ짮 ᨢ BY.
     2) 砩,     ஭ Pi    ஭ A.
     ६ ᫥⥫쭮 窨 ᨢ BY[i],  i=1,  ...,  N,  
⠥,     ஭ Pi 室 १  BY[i].  
⮩ 窨  ᭠砫,   XBegin=0,  XEnd=V. 室 ⠪
窨  BY[j]   BY[k] ( ᬮ ᨢ BY ࠢ  
BY[i]),    BY[j,2]<BY[i,2],  BY[k,2]<BY[i,2],  BY[j,1]<=XBegin,
BY[k,1]<=XEnd,  BY[j,1]<BY[i,1], BY[k,1]>BY[i,1] (᭥ ᬮ-
 ),  ..  室 窨  ᨬ쭮 न⮩, १
   ஢ ࠢ   ஭ אַ㣮쭨 Pi).
 ࢠ (BY[j,1],  BY[k,1])   OX 饬   BY[l,1]
⠪,  y - न ⮩ 窨 BY[l,2] ᨬ쭠, 
稭 max{BY[j,2],BY[k,2]}.
     १    BY[l] 㤥 室  ஭ אַ-
쭨.  XBegin=BY[j,1], XEnd=BY[k,1].
      ⨬  אַ㣮쭨   뢠  ⢮
אַ㣮쭨,    窠 BY[i]   孥  ஭.
⠥     ⠪ אַ㣮쭨.  祢, 
  ஭  x-न   ,  祬  XBegin,  
ࠢ -  , 祬 XEnd. 㤥 ᪠ ⠪  BY[l], 
XBegin<=BY[l,1]<=XEnd  (⥯  㦥  ⭮  祬),  BY[l,2]  -
ᨬ쭠      न,   max{BY[j,2],BY[k,2]} (
"㦠"   אַ㣮쭨          ⥫쭥).    ᫨
BY[l,1]<BY[i,1],     ஭,  -  ࠢ.
室   ஭,  .. ᫨     
BY[l],   ᬮ אַ㣮쭨  窮 BY[i]  孥 -
஭ 祭,   室  BY[i+1].

                             24.
      ஭ ࢮ  - 1,  ண - 1,  쥣 -
2, ⢥⮣ - 3,  .. ,   ஭  ᫠ -
, ।塞 ᫥騬 ४७ ᮮ⭮襭
               u(1)=1, u(2)=1, u(N)=u(N-1)+u(N-2).
     㤥 ࠭ न 㣮쭨  Ai  -  ꥤ
⮢  ࠬ  1  i.
     ன   ࠢ  ࢮ (A1),
     ⨩     -  ᢥ  A2,
     ⢥  -  ᫥  A3,
           -  ᭨  A4,
     ⮩     -   ࠢ  A5  ..
      ⮫쪮  窠  P    Ai,   ᯥ뢠
 i.
     ஢ઠ ਭ 窨 P 㣮쭨  ࠫ-
묨  ஭:
       孨 㣮 (x1,y1), ࠢ  (x2,y2). -
  P(Px,Py)  ਭ  㣮쭨,   ᫨   ६
x1<=Px<=x2  y2<=Py<=y1.

                              25.
     ஢ न 祪  浪 뢠 - -
,     砥  - न  浪 뢠
- न,  室 न । 窨  (室  
樨 n div 2+1),    窠 (0,0).  ⮬ ⢮ -
祪  ࠧ  3 :  窨,  騥   אַ  =0;
窨, 騥  אַ =0; 窨, 騥 ࠢ אַ =0.
।⠢,   窨,  騥  אַ =0 ( 窨,  騥
ࠢ אַ =0)   । ண אַ㣮쭨,  
1 (2) न  ࠢ () .      ,
    ﬠ  筮 訬 㣫 ,  
ࠧ  . ⠫ ࠧ ⮫쪮 窨  אַ, -
 ⢮ 祪  稢  뫮 ᮮ⢥騬 (..
祭 אַ  אַ =0). ᫨ ⢮ 祪 ⭮, 
᪮  室 १ । ,   । 窮
(  ।饩, ᫨    אַ =0).
     ।:
       1 -     ᬮ஬ ᨢ - -
              ࠢ   । 窨  宦 -
             न, ⫨筮  0. ᫨ ⠪ न 
            ,  1=0-1.
       2 -     ᬮ஬ ᨢ - -
              ᫥ ࠢ  । 窨  宦 -
             न, ⫨筮  0. ᫨ ⠪ न 
            ,  1=0+1.
       1 -  - न 窨, ।饩 । -
            ,  ᫨  -  न ࠢ 0,   ࠢ 0-1,
            ᫨ -  न  窨,  ।饩  ।
            窥,  ࠢ 0.
     ᫥ ⮣,   0,0,1,1 , ⠫  ࠢ-
 אַ १ 窨  न⠬ (2,2) (3,3), ।塞묨
 ᫥饬 ࠢ:
      ᫨ N - ⭮
            2=0; 2=(0+1)/2, 3=0+Z/2,3=0-Ymax+Ymin
         2=0; 2=0, 3=0+Z/2,3=0-Ymax+Ymin
 Ymax- ᨬ쭠 - न,  Ymin - 쭠 -
न, Z=min(0-1,2-0).

                             26.
     ஢ १  設   㪫  㣮-
  ࠫ    Oy  .      ࠧ  
᪮  ᥪ.  祭  ᥪ  㪫 -
㣮쭨 ࠧ ࠯. ⮬   ᥪ -
祭  㪫 㣮쭨 㤥 祭  -
㣮쭨.  ࠥ   祭   䨣, 㤠-
  ⮬  設,     ࠭  
ᥪࠬ.
     ꥤ  筮.

                             27.
     ᫨ ஥  窨  Z   ஭ 㣮쭨, 
   த (.   4),  쭮 ﭨ 
窨 Z  ஭   ஢ ௥. ᫨ 
஥ 窨 Z   த ஭,    쭮
ﭨ     ﭨ  Z  楢 祪 ⮩
஭.
     쭮 ﭨ   窨 Z     
ﭨ  窨 Z    ஭.

                             28.
     ஢塞,   窠 z  - १.  ᫨ ,
 ஢ १, 楢 窨 ண z , ਬ, -
 1. 室   z  祭 ⮣ १  -
஭ 㣮쭨,    ࠧ ᪮.   
窠 ਭ ஭ ab.   ⮩ ஭ ᭠砫 ।塞
ࠢ 室 (.  3); ⥬ 饬 ᫥, ᬥ 
⥪饩, ஭ bc ,  ࠧ   -
稭 㣮  १ ba (㣮 뢠  १ ab  -
  ⨢ ᮢ ५  ᨬ  ⮣,    -
⨢ ᮢ ५ 室,  ࠢ 㣫 - .  1). -
    ।塞, 室  窠 z  -
  ᭠㦨. ᫨ ᭠㦨,  㤠塞  䨣  ॡ ⮣
  塞 .
     ਬ:
                  Ŀ
                  Ŀ
                  ٳ
                  Ŀ    Z      Ŀ
                            .            
                             ٳ
                  Ŀ
                  ٳ
                  

                             29.
      㣮쭨   ઠ쭮 ᨬ! -
   ᪮    ࠪਧ 楩 ﭨ
(i,j), (i,j)=ﭨ  設 i  設 j.   
 䨣 ந ᢮  ﭨ  ஢塞,  
           ⠭  ப  
⮫殢  㬭  ⮢       ᫮.

                             30.
        ⮩ :
      N १, 뢠 ࠢﬨ
                ai*x+bi=y, x0<=x<=x1, i=1, ... ,N.
।,  १  ᮢ.
     1.  孨  ꥤ 䨣
               ai*x+bi<=y, i=1, ..., N, x0<=x<=x1,
(..   ⠪ ࠧ t(0),  ...,  t(p) १ [x0,x1]  
窨 १ ai*x+bi=y,  t(j)<=x<=t(j+1), j=1, ..., p,  -
१  ai*x+bi        㣮 १ al*x+bl 
t(j)<=x<=t(j+1))
     2.   ⠪  ࠧ  १ [x0,x1] 窠 S(j),   
 ᥪ S(i)<x<S(i+1) 窨 १ a(i)*x+b(i), i=1, ...,
N  ᥪ,   ࠭ ᥪ,  x=S(i)   x=S(i+1),
  ࠩ    窥 祭  १  ai*x+bi,
i=1, ..., N.
     訬 ᭠砫 㭪 2 , ⥬ 㭪 1.
       窨 祭 १ ai*x+bi, i=1,...,N 
 㣮.     ⢮ 窨 x0  x1. 冷稬 窨
祭   ⠭ (᫨  ᫥⥫쭮 
᪮쪮 祪    ⥬  祭,   ⠢塞    
⮫쪮 ). 砥 ⠪ ࠧ ᫥⥫쭮 S(0), ...,
S(Q).
        १  [S(i),  S(i+1)]  室    ।
Zi=(S(i)+S(i+1))/2,  塞 祭 fj=aj*Zi+bj,  j=1,  ...,N,
㥬   ⠭.  j 祭 fj  ஢-
  ᫥⥫쭮  -   ࠧ   ᪮ ⠭
(i1,i2,...,iN) ᥫ 1,2,3,  ..., N, 㯮  㫨஢ -
  㭪 2.
      襭  㭪  1 믨襬  浪   १
[S(j),S(j+1)], j=0, ..., Q-1, 稭 iN (  ᠬ -
  १  ᥪ [S(j),S(j+1)]).  १  ஬ k 
 ᠬ 孨  ᪮쪨 ᬥ ᥪ஢  [S(j),S(j+1)],
...,  [S(l),S(l+1)].  ⮬    ᬠਢ  iN,  ᮮ-
騥 १ [S(j),S(j+1)],  j=0,  ...,  Q-1   ।塞
᫥⥫  ᨬ १,  祭   ⥬ 
஬.  楢 窨  ᨬ १   ᪮
窨 t(0), ..., t(p) ( 롨  㪠  ⮤ 
祪 S(0), ..., S(Q)).

                             31.
     ﬠ ax+by+c=0, 室 १ 窨 P(x1,y1)  S(x2,y2),
 㤮⢮ ࠢ⢠
                  a*x1+b*y1+c=0             (1)
                  a*x2+b*y2+c=0             (2)
       (1) ࠢ (2), 砥
                       b/a=(x1-x2)/(y1-y2).
     ᫨  ࠫ,   樥  x  y ய-
樮.
        祪 ⢠ A 室 ⭮襭 -
⮢ b/a 室饩 १  窨 אַ L.  室 ᫮ -
  ⢠  B  ⥬  ⭮襭 樥⮢ ( - ,
ࠫ L).

                             32.
        䨣  㦥 ஢ L ,    ࠧ
n-㣮쭨   k  ⥩.  ஢    ,  L+1-  .
⠥,  ᪮쪮  ࠭  ஢   ᥪ 
७ 窠  .  稬 ⢮ 祭
१ S. ஢ 
     1) 㢥稢 ⢮ ࠧ n-㣮쭨  1;
     2)  祭 ⮩   ࠭ ஢ -
 ⠪ 㢥稢 ⢮ ࠧ  1 ( ᫮ -
 3   ᥪ   窥).
     ⠪, ᫥ ஢  L+1 ⢮ ⥩  K+S+1
(।,  L+1-   ᮢ    ࠭
஢).
      ।, ᥪ  , ᮥ -
 i  j,   ,   設 k  l?  設 i  j
ࠧ  㣮쭨  2 : ⢮ A - 設,
騥    設 i  j,   ⢮ B - 設
    j  i (⢠ A  B   i  j).  ᫨ K
ਭ    ,   L - 㣮,   
ᥪ,  - .

                             33.
     㤥  १ V(i) 設      न⠬
(x(i),y(i)).
     砫 ᬮਬ ࠧ१ 㣠 ,  饩 ⮫쪮 
 ॡ  R(1)=(V(1),V(2))  R(2)=(V(2),V(3)).   ⮣,  ⮡
ࠧ  ,  室   ࠢ  S, -
室饣   窨  V(2)   饣   㣫 V(1)V(2)V(3)
(設 㣫 -- 窠 V(2)),    業ࠫ쭮ᨬ筮
 ⭮⥫쭮  窨  V(2) 㣫.  㤥 ,    S
   C(2)  設 V(2).
     筮, ᫨  ।  k  設,    
  ॡ (V(i),V(i+1))  (V(i+1),V(i+2)),  i=1, ..., k-2,
।塞   C(i+1)  ࠢ ६饭,  ⥬
⠥,  ࠫ ७ᮬ 設  ᮢ ᮢ饭
  窥.  祭  C(i), i=2,...,k-1,   ᪮
 ࠢ  ࠧ  㣠.  ᫨     祭
,   ࠧ ,  -- .

                             34.
     ॡࠥ   樨   祪,  
    אַ.  室,  ᯮ    襭  
2, ᪮ 㣮쭨.

                             35.
     ⠥,  砫 न -  - 㣮  ,
  ࠢ ࠫ쭮 ⥭.
     砫  ஢,    ᫥ ६饭 祫
  (஢ઠ ४⭮ 室 ). ᫨ , 
 砥, ᫨ 祫 室   x>=0, 0<=y<=5,   
⮫쪮  ⥭ ;  ᫨   x>=0,y>=5,  ᥢ 
 ⥭   ..
     㣮 ᯮᮡ    - ।,    27
쭮 ﭨ  祫  . ᫨ -
  ﭨ  㣫 ,  祫   ਬ몠騥
 ⮬ 㣫 ஭,  - ⮫쪮  ஭, ﭨ  -
ன 쭮.

                             36.
      窠 z - 業 न (᫨   ⠪, ᤥ -
ࠫ ७).   ⮣,  ⮡   뫮 
,  室  筮, ⮡  窨 z,  ⮨ 祫-
,  뫨   設 ⮣ ,    -  
७ 窠.  㤥 ,   設 l  , ᫨
ࢠ (z,l)  ᥪ  쥢 ,     ᫨
  楢  設 ᥪ  k   [z,l],  ..
祫 ᬮ   k.
     㥬  뢠 㣫, ࠧ㥬   OX १-
,   楢 窠  z,   ஡  設
쥢  (㣫  뢠  窨 z  ⥫쭮 ࠢ-
, .. ⨢ ᮢ ५). 砥 ᫥⥫쭮 -
 a[1],a[2],  ,,, ,a[n]. 塞   ᫥⥫쭮 㣮
a[n+1]=a[1].   窨 z  ࠢ  묨,  騬 
㣫  L[i]    L[i+1]        ᮪  ⮫쪮  
⢥ .
      窨 z  㣫 (a[i]+a[i+1])/2,  i=1, ... ,n, ஢
     ᬮਬ,   k   ᥪ
  (᫨ ࢮ 祭 ந室  設,    
ᬠਢ).   ⮬ 砥, ᫨   k   設,
   , ᫨    設  ,  k
 筮.
     ᫥  祪 祭  n 祩  , -
    ,   筮,    -
.
                             37.
     ᬠਢ 㬥 ࠭   ᨢ. -
㥬   ᨢ   ண    ⬠
(ਬ,    "쪮" ஢), 뢠 -
⢮  ( KN  KM).  ᫨ ஢ ᨢ ᮢ-
    (KN-KM) ⭮ 2,    ᮢ.  ( 
࠭  ࠪ⮢  ࠦ   ઠ).


